刁捷先(臺灣)

07-29

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[主樓] 巴拿赫--薩柯斯性質和均勻有界原則[ 摘要 ]

本文，是為了解決在點態巴合赫－薩柯斯性質（Pointwise Banach-Saks Property）
推展到點交換巴拿赫－薩柯質性質（Pointwise Alternate-Signs Banach-Saks Pro-
perty ）時，所須要提出的問題：
是否L 空間上的任意一組範數有界（norm-bounded）的函數數列中，存在一組子數列
，使得對幾乎任何一點（almost everwhere），其函數值為點態有界（pointwise-b-
ounded）？
以數學式表示如下：
(圖表省略)
（？）存在｛fnk｝｛fn｝，使得│fnk(x)≦Mx
對幾乎所有的x（a．a．x．），對某些Mx（與x 相關）。
這個問題，可以視為海－鮑萊耳（Heine-Borel ）性質的一種弱化形式。相似地，
巴拿赫－薩柯斯性質（Banach-Saks Property），交換巴拿赫－薩柯斯性質（Alter-
nate-Signs Banach-Saks Property ），點態巴拿赫－薩柯斯性質，點態交換巴拿赫
－薩柯斯性質，皆可視為海－薩柯斯性質，在L^P 空間上的關係，１９６５年，雷
維茲對P=２的機率測度空間，１９６７年，柯姆洛斯對P = １的機率測度空間及１９
７４年柯姆洛斯對P = ２的任意測度空間，都有了正面的結果。而今年，余啟輝更將
點態巴拿赫－薩柯斯性質夫廣到任意一個P ，１≦P＜∞的任意測度空間，這些與本
文的相關之處，在文中都有詳細討論。
本文，在L〔０，１〕中，對文中提出的問題，找到一個特殊的反例。由於，若對
某個P ，１≦P＜∞，這個性質（範數有界蘊含點態有界）成立，則對所有的P都成立
，所以我們可斷言，對任何一個P，１≦P＜∞，一般而言，無法從範數巾界的函數數
列中，得到一組子數列，它們幾乎在每一點，點態有界。